Question

【題目】【2016年高考四川理數】設函數f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.

（Ⅰ）討論f(x)的單調性；

（Ⅱ）確定a的所有可能取值，使得在區間（1，+∞）內恒成立(e=2.718…為自然對數的底數).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，<0，單調遞減；當時，>0，單調遞增；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）對求導，對進行討論，研究的正負，可判斷函數的單調性；（Ⅱ）要證明不等式在上恒成立，基本方法是設，當時，，的解不易確定，因此結合（Ⅰ）的結論，縮小的范圍，設=，并設=，通過研究的單調性得時，，從而，這樣得出不合題意，又時，的極小值點，且，也不合題意，從而，此時考慮得，得此時單調遞增，從而有，得出結論．

試題解析：（I）

<0，在內單調遞減.

由=0，有.

此時，當時，<0，單調遞減；

當時，>0，單調遞增.

（II）令=，=.

則=.

而當時，>0，

所以在區間內單調遞增.

又由=0，有>0，

從而當時，>0.

當，時，=.

故當>在區間內恒成立時，必有.

當時，>1.

由（I）有,從而，

所以此時>在區間內不恒成立.

當時，令，

當時，，

因此，在區間單調遞增.

又因為，所以當時， ，即 恒成立.

綜上，．