Question

（2012•松江區三模）在平面直角坐標系中，O為坐標原點．已知曲線C上任意一點P（x，y）（其中x≥0）到定點F（1，0）的距離比它到y軸的距離大1，直線l與曲線C相交于不同的A，B兩點．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若直線l經過點F（1，0），求

OA

•

OB

的值；
（3）若

OA

•

OB

=-4，證明直線l必過一定點，并求出該定點．

Answer 1

分析：（1）依題意知，動點P到定點F（1，0）的距離等于P到直線x=-1的距離，曲線C是以原點為頂點，F（1，0）為焦點的拋物線，由此可求曲線C方程；
（2）當l平行于y軸時，其方程為x=1，此時

OA

•

OB

=1-4=-3；當l不平行于y軸時，設l的方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理及向量的數量積，可得

OA

•

OB

的值；
（3）設l：x=ty+b代入拋物線y²=4x消去x，得y²-4ty-4b=0，利用韋達定理及

OA

•

OB

=-4，可得b的值，從而可得結論．

解答：解：（1）依題意知，動點P到定點F（1，0）的距離等于P到直線x=-1的距離，
∴曲線C是以原點為頂點，F（1，0）為焦點的拋物線          
∵

p

2

=1，∴p=2
∴曲線C方程是y²=4x
（2）當l平行于y軸時，其方程為x=1，由

x=1 y2=4x

解得A（1，2）、B（1，-2）
此時

OA

•

OB

=1-4=-3
當l不平行于y軸時，設其斜率為k，則由

y=k(x-1) y2=4x

得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁x₂=1，x1+x2=

2k2+4

k2

∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+k(x1-1)k(x2-1)=(1+k2)x1x2-k2(x1+x2)+k2=1+k2-k2•

2k2+4

k2

+k2=1-4=-3
（3）設l：x=ty+b代入拋物線y²=4x消去x，得y²-4ty-4b=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b．  
∵

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2
=-4bt²+4bt²+b²-4b=b²-4b．   
令b²-4b=-4，∴b²-4b+4=0，∴b=2，
∴直線l過定點（2，0）．

點評：本題考查拋物線的定義，考查向量的數量積，考查直線與拋物線的位置關系，解題的關鍵是確定拋物線的方程，聯立方程，利用韋達定理求解．