Question

【題目】對于函數，若在定義域內存在實數，滿足，則稱為“局部奇函數”

（1）已知二次函數（且），試判斷是否為“局部奇函數”，并說明理由；

（2）若是定義在區間上的“局部奇函數”，求實數的取值范圍；

（3）若為定義域為上的“局部奇函數”，求實數的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據條件中局部奇函數的定義，只需判斷方程是否有解即可下結論；（2）

根據局部奇函數的定義，參變分離后可得到關于的函數關系式，即可求解；（3）根據局部奇函數的定

義，可得到，滿足的式子，換元后可將問題等價轉化為二次函數的零點分布，即可求解．

試題解析：（1）由題意得：，當或時，

成立，∴是“局部奇函數”；（2）由題意得：

∵，∴在有解，∴，，

令，則，設，在單調遞減，在單調遞增，

∴ ，∴；（3）由定義得：∵，

∴，即有解，

設，∴方程等價于在時有解，

設，對稱軸，

①若，則，即，∴，

此時，②若時，則，即，此時，

綜上得：，即實數的取值范圍是．