Question

【題目】已知圓，直線是圓與圓的公共弦所在直線方程，且圓的圓心在直線上．

（1）求公共弦的長度；

（2）求圓的方程；

（3）過點分別作直線，，交圓于，，，四點，且，求四邊形面積的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）最大值17，最小值12．

【解析】

（1）根據直線和圓相交求弦長用直角三角形勾股定理等價條件進行求解即可；

（2）圓的圓心在直線上，設圓心，求出圓心的半徑即可得到圓的方程；

（3）對直線，分兩種情況討論，即當過點的互相垂直的直線，為軸，垂直于軸時和當過點的互相垂直的直線，不垂直于軸時，寫出四邊形面積的的表達式，再利用函數知識求最大值與最小值．

圓，所以圓的圓心坐標，半徑，

（1）圓心到直線的距離，

公共弦；

（2）圓的圓心在直線上，設圓心，由題意得，，即，到的距離，所以的半徑，

所以圓的方程：；

（3）當過點的互相垂直的直線，為軸，垂直于軸時，，這時直線的方程為，代入到圓中，，

所以，四邊形的面積；

當過點的互相垂直的直線，不垂直于軸時，

設直線為：，

則直線為：，

所以圓心到直線的距離，圓心到直線的距離，，，

設，

當或1時，正好是軸及垂直軸，

面積，

當時，最大且，或1時，最小，

四邊形面積的最大值17，最小值．