Question

（本小題滿分14分）
在平面直角坐標系中，N為圓C：上的一動點，點D（1,0），點M是DN的中點，點P在線段CN上，且.
（Ⅰ）求動點P表示的曲線E的方程；
（Ⅱ）若曲線E與x軸的交點為，當動點P與A，B不重合時，設直線與的斜率分別為，證明：為定值；

Answer 1

（Ⅰ）解：由點M是DN的中點，又，可知PM垂直平分DN.所以，又，所以.
由橢圓定義知，點P的軌跡是以C，D為焦點的橢圓. ----------------------4分
設橢圓方程為.
又可得
所以動點P表示的曲線E的方程為. ----------------------8分
（Ⅱ）證明：
易知A（-2,0），B（2,0）. 設，則，即，
則，，                        ----------------------10分
即，                 
∴為定值．       -----------------------------------14分
 

略