Question

已知和相交于A、B兩點，過A點作切線交于點E，連接EB并延長交于點C，直線CA交于點D，
  
（1）當點D與點A不重合時（如圖1），證明：ED²=EB·EC;
（2）當點D與點A重合時（如圖2），若BC=2，BE=6，求的直徑長.

Answer 1

（1）證明詳見解析；(2)

試題分析：（1）連接AB，在EA的延長線上取點F，由弦切角定理可得∠FAC＝∠ABC，而∠FAC＝∠DAE，（對頂角）證得∠ABC＝∠DAE,然后內接四邊形的性質證得∠ABC＝∠ADE,即得∠DAE＝∠ADE.所以EA＝ED,由切割線定理可得，即.
(2)直線CA與⊙O₂只有一個公共點，所以直線CA與⊙O₂相切，由弦切角定理知：然后證明，即AC與AE分別為⊙O₁和⊙O₂的直徑．最后根據切割線定理證得AE的長.
試題解析：(1)連接AB，在EA的延長線上取點F，如圖①所示．
∵AE是⊙O₁的切線，切點為A，
∴∠FAC＝∠ABC,.∵∠FAC＝∠DAE，
∴∠ABC＝∠DAE,∵∠ABC是⊙O₂內接四邊形ABED的外角，
∴∠ABC＝∠ADE,∴∠DAE＝∠ADE.∴EA＝ED,∵,∴

(2)當點D與點A重合時，直線CA與⊙O₂只有一個公共點，
所以直線CA與⊙O₂相切．如圖②所示，由弦切角定理知：


∴AC與AE分別為⊙O₁和⊙O₂的直徑．    8分
∴由切割線定理知：EA²＝BE·CE，而CB＝2，BE＝6，CE=8
∴EA²＝6×8＝48，AE＝.故⊙O₂的直徑為.      10分