Question

【題目】已知函數（為常數），函數，（為常數，且）.

（1）若函數有且只有1個零點，求的取值的集合.

（2）當（1）中的取最大值時，求證：.

Answer 1

【答案】(1) {k|k≤0或k=1} (2)見解析

【解析】試題分析：

（1）由題意得，①當k≤0時，由根的存在性定理可得f(x)在(ek-2，1)上存在唯一零點，符合題意。②當k>0時，可得f(x)在上單調遞增，在上單調遞減。若，得k=1，顯然滿足題意；若，則得在上有唯一零點，在上有唯一零點，不符題意。綜上可得實數k的取值的集合為{k|k≤0或k=1}.

（2）由(1)知k=1，可得lnx≤x-1，而，故。故當k=1時， 。 再證記，即可得到結論。

試題解析：

(1)由題意得，

①當k≤0時，f′(x)>0，則f(x)在(0，+∞)單調遞增.

而f(ek-2)=k-2-kek-2+1=k(1-ek-2)-1≤-1<0，f(1)=1-k>0，

故f(x)在(ek-2，1)上存在唯一零點，滿足題意；

②當k>0時，

令f′(x)>0得0<x<，則f(x)在上單調遞增；

令f′(x)<0得x>，則f(x)在上單調遞減；

若，得k=1，顯然滿足題意；

若，則0<k<1，而f=<0，

又f=2ln-+1=2+1，

令h(x)=lnx-x+1，則h′(x)=，

令h′(x)>0，得x<1，故h(x)在(0，1)上單調遞增；

令h′(x)<0，得x>1，故h(x)在(1，+∞)上單調遞減；

故h(x)≤h(1)=0，則h=ln-+1<0，

即ln-<-1，

則f=2ln-+1=2+1<-1<0.

故在上有唯一零點，在上有唯一零點，不符題意.

綜上實數k的取值的集合為{k|k≤0或k=1}.

(2)由(1)知k=1，可得lnx≤x-1，當且僅當x=1時等號成立，

而，故，

則k=1時，

。

記，

則F′(x)=(x+1)=(axex-2)，

令G(x)=axex-2，則G′(x)=a(x+1)ex>0，故G(x)在(0，+∞)上單調遞增.

而G(0)=-2<0，G=2(-1)>0，

故存在x0∈，使得G(x0)=0，即ax0-2=0.

且當x∈(0，x0)時，G′(x)<0，故F′(x)<0；

當x∈(x0，+∞)時，G′(x)>0，故F′(x)>0.

則F(x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，+∞)上單調遞增，

故

故ag(x)-2f(x)>2(lna-ln2).