Question

【題目】已知函數對任意實數恒有，且當時， ，又.

(1)判斷的奇偶性；

(2)求證： 是R上的減函數；

(3)求在區間[－3,3]上的值域；

(4)若x∈R，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）奇函數（2）見解析（3）[－6,6]（4）(，＋∞)

【解析】試題分析：（1）利用賦值法求f(0)＝0. 利用賦值法求f(－x)＝－f(x)，則得f(x)為奇函數．（2）根據單調性定義，利用賦值法得f(x1)，f(x2)大小關系，即得函數單調性（3）根據函數單調性即求f(3)，f(－3)，利用賦值法得f(3)，f(－3)值（4）根據關系式化簡不等式得f(ax2－2x)<f(x－2)，根據函調單調性得ax2－2x>x－2，結合二次函數圖像得不等式恒成立條件：a>0，Δ＝9－8a<0，解得實數的取值范圍．

試題解析：解：(1)取x＝y＝0，則f(0＋0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.

取y＝－x，則f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，

∴f(－x)＝－f(x)對任意x∈R恒成立，∴f(x)為奇函數．

(2)證明： 任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1<x2，則x2－x1>0，f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)<0，

∴f(x2)<－f(－x1)，又f(x)為奇函數，

∴f(x1)>f(x2)．

∴f(x)是R上的減函數．

(3)由(2)知f(x)在R上為減函數，

∴對任意x∈[－3,3]，恒有f(3)≤f(x)≤f(－3)，

∵f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝－2×3＝－6，

∴f(－3)＝－f(3)＝6，f(x)在[－3,3]上的值域為[－6,6]．

(4)f(x)為奇函數，整理原式得f(ax2)＋f(－2x)<f(x)＋f(－2)，

則f(ax2－2x)<f(x－2)，

∵f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數，∴ax2－2x>x－2，

當a＝0時，－2x>x－2在R上不是恒成立，與題意矛盾；

當a>0時，ax2－2x－x＋2>0，要使不等式恒成立，則Δ＝9－8a<0，即a>；

當a<0時，ax2－3x＋2>0在R上不是恒成立，不合題意．

綜上所述，a的取值范圍為(，＋∞)．