Question

甲方是一農場，乙方是一工廠．由于乙方生產須占用甲方的資源，因此甲方有權向乙方索賠以彌補經濟損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤x（元）與年產量t（噸）滿足函數關系x=2000

t

．若乙方每生產一噸產品必須賠付甲方s元（以下稱s為賠付價格）．
（1）將乙方的年利潤w（元）表示為年產量t（噸）的函數，并求出乙方獲得最大利潤的年產量；
（2）甲方每年受乙生產影響的經濟損失金額y=0.002t²（元），在乙方按照獲得最大利潤的產量進行生產的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應向乙方要求的賠付價格s是多少？

Answer 1

分析：（1）由已知中賠付價格為s元/噸，所以乙方的實際年利潤為w=2000

t

-st．我們利用導數法易求出乙方取得最大年利潤的年產量
（2）由已知得，若甲方凈收入為v元，則v=st-0.002t²．再由x=2000

t

．我們可以得到甲方凈收入v與賠付價格s之間的函數關系式，利用導數法，我們易求出答案．

解答：解：（1）因為賠付價格為s元/噸，所以乙方的實際年利潤為w=2000

t

-st．
由w′=

1000

t

-s=

1000-s t

t

，
令w'=0，得t=t0=(

1000

s

)2．
當t＜t₀時，w'＞0；當t＞t₀時，w'＜0，
所以t=t₀時，w取得最大值．
因此乙方取得最大年利潤的年產量t₀為(

1000

s

)2（噸）；
（2）設甲方凈收入為v元，則v=st-0.002t²．
將t=(

1000

s

)2代入上式，得到甲方凈收入v與賠付價格s之間的函數關系式v=

106

s

-

2

s4

×109．
又v′=

106×(8000-s3)

s5

，
令v'=0，得s=20．
當s＜20時，v'＞0；當s＞20時，v'＜0，
所以s=20時，v取得最大值．
因此甲方應向乙方要求賠付價格s=20（元/噸）時，獲最大凈收入．

點評：函數的實際應用題，我們要經過析題→建模→解模→還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（小）化問題，利用函數模型，轉化為求函數的最大（小）是最優化問題中，最常見的思路之一．