Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，CE交AD于點P．
（1）若AE=CD，點M為BC的中點，求證：直線MP∥平面EAB
（2）若AE=2，CD=1，求銳二面角E-BC-A的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得四邊形ACDE為矩形，點P為EC的中點．再取AC的中點為N，可證MN∥平面EAB，PN∥平面EAB，從而平面PMN∥平面EAB．再根據兩個平面平行的性質可得直線MP∥平面EAB．
（2）先由條件判斷∠EBA即為銳二面角E-BC-A的平面角．直角三角形EAB中，由EA=AB=2，可得直角三角形EAB為等腰直角三角形，故∠EBA=45°，由此求得cos∠EBA 的值，即為所求．

解答：解：（1）∵AE=CD，點M為BC的中點，AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，故四邊形ACDE為矩形．
由CE交AD于點，P可得點P為EC的中點．
再取AC的中點為N，則MN為△ABC的中位線，PN為△ACE的中位線，故有MN∥AB，
而MN不在平面ABE中，AB在平面ANE中，故有MN∥平面EAB．
同理可證，PN∥平面EAB．
而MN和PN是平面PMN內的兩條相交直線，故平面PMN∥平面EAB．
而MP在平面PMN內，故MP∥平面EAB．
（2）Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，則有BC⊥平面EAB，
故∠EBA即為銳二面角E-BC-A的平面角．
直角三角形EAB中，由EA=AB=2，可得直角三角形EAB為等腰直角三角形，
故∠EBA=45°，∴cos∠EBA=

2

2

．

點評：本題主要考查證明直線和平面平行、2個平面平行的方法，2個平面平行的性質，求二面角的平面角，屬于中檔題．