Question

【題目】設f（x）=x2lnx，g（x）=ax3﹣x2 ．
（1）求函數f（x）的最小值；
（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）＞g（x），求實數a的取值范圍；
（3）若使方程f（x）﹣g（x）=0在x∈[ ，en]（其中e=2.7…為自然對數的底數）上有解的最小a的值為an ， 數列{an}的前n項和為Sn ， 求證：Sn＜3．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=x2lnx的導數為f′（x）=2xlnx+x=x（1+2lnx），x＞0，

當x＞ 時，f′（x）＞0，f（x）遞增；當0＜x＜ 時，f′（x）＜0，f（x）遞減．

即有x= 處取得極小值，也為最小值﹣

（2）解：存在x∈（0，+∞），使f（x）＞g（x），

即為a＜ 在（0，+∞）成立，

設h（x）= ，h′（x）= =﹣ ，

當x＞1時，h′（x）＜0，h（x）遞減；當0＜x＜1時，h′（x）＞0，h（x）遞增．

即有x=1處取得極大值，也為最大值1，

則a＜1，即a的取值范圍是（﹣∞，1）

（3）證明：方程f（x）﹣g（x）=0，即為a= 在x∈[ ，en]上有解，

由（2）可得h（x）= 在（ ，1）遞增，在（1，en]遞減，

由 ＜en，可得x=en處取得最小值，且為（1+n）e﹣n，

前n項和為Sn=2e﹣1+3e﹣2+4e﹣3+…+（1+n）e﹣n，

eSn=2e0+3e﹣1+4e﹣2+…+（1+n）e1﹣n，

相減可得，（e﹣1）Sn=2+e﹣1+e﹣2+e﹣3+…+e1﹣n﹣（1+n）e﹣n

=1+ ﹣﹣（1+n）e﹣n

化簡可得Sn= ﹣ e﹣n（ +n+1）＜ ＜3．

故Sn＜3成立

【解析】（1）求出函數f（x）的導數，求得單調區間和極值，即可得到最小值；（2）由題意可得a＜ 在（0，+∞）成立，設h（x）= ，求出導數，求得單調區間和極值，最大值，即可得到a的范圍；（3）方程f（x）﹣g（x）=0，即為a= 在x∈[ ，en]上有解，求得h（x）在x∈[ ，en]上的最小值，可得an=（1+n）e﹣n ， 由錯位相減法求得Sn ， 再由不等式的性質即可得證．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)，還要掌握函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關知識才是答題的關鍵．