Question

（1）求過點（-2，3）的拋物線的標準方程；
（2）已知雙曲線的離心率等于2，且與橢圓

x2

25

+

y2

9

=1有相同的焦點，求此雙曲線方程．

Answer 1

分析：（1）設出拋物線的方程y²=mx，將過的點代入方程，求出m的值，即得到拋物線的方程．
（2）求出橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的焦點坐標，設出雙曲線的方程，據題意得到參數c的值，根據雙曲線的離心率等于2，得到參數a的值，得到雙曲線的方程．

解答：解：（1）若拋物線的焦點在x軸上，設方程為y²=mx，…（1分）
∵拋物線過點（-2，3），
∴3²=-2m，
∴m=-

9

2

，…（2分）
此時拋物線的標準方程為y2=-

9

2

x；           …（3分）
若拋物線的焦點在y軸上，設方程為x²=ny，…（4分）
∵拋物線過點（-2，3），∴（-2）²=3n，∴n=

4

3

，…（5分）
此時拋物線的標準方程為x2=

4

3

y．              …（6分）
（2）∵橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的焦點坐標為（-4，0）和（4，0），…（1分）
設雙曲線方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
則c=4，…（2分）
∵雙曲線的離心率等于2，即

c

a

=2，∴a=2．     …（4分）
∴b²=c²-a²=12．                           …（5分）；
故所求雙曲線方程為

x2

4

-

y2

12

=1．　              …（6分）

點評：本題主要考查雙曲線的簡單性質和拋物線的標準方程．解答的關鍵在于考生對圓錐曲線的基礎知識的把握．