Question

下表提供了某廠節能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸標準煤)的幾組對照數據.

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

(1)請畫出上表數據的散點圖.
(2)請根據上表提供的數據,用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程=bx+a.
(3)已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤.試根據(2)求出的回歸方程,預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤?
(參考數值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)

Answer 1

(1) 如圖

(2) =0.7x+0.35    (3) 19.65

(1)由題設所給數據可得散點圖如圖所示:

(2)對照數據,計算得=86,
==4.5,
==3.5,
已知x_iy_i=66.5,
所以,由最小二乘法確定的回歸方程的系數為:
b===0.7,
a=-b=3.5-0.7×4.5=0.35,
因此,所求的回歸方程為=0.7x+0.35.
(3)由(2)的回歸方程及技改前生產100噸甲產品的生產能耗得,降低的生產能耗為
90-(0.7×100+0.35)=19.65(噸標準煤).
【方法技巧】
1.用最小二乘法求回歸直線方程的步驟

2.回歸方程的應用
利用回歸方程可以對總體進行預測估計,回歸方程將部分觀測值所反映的規律進行延伸,使我們對有線性相關關系的兩個變量進行分析和控制,依據自變量的取值估計和預報因變量的值,在現實生活中有廣泛的應用.