Question

【題目】已知PC⊥平面ABC，AC=2 ，PC=BC，AB=4，∠BAC=30°． 點D是線段AB上靠近B的四等分點，PE∥CB，PC∥EB．

（Ⅰ）證明：直線AB⊥平面PCD；
（Ⅱ）若F為線段AC上靠近C的四等分點，求平面PDF與平面CBD所成銳二面角的正切值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：在△ABC中，由余弦定理可得BC2=AC2+AB2﹣2ACABcos30°= ，

所以BC=2，AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC，∠ABC=60°，又 ，

在△BCD中，由余弦定理，得： ，

∴ ，∵BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD；即CD⊥AB

∵PC⊥平面ABC，AB平面ABC，所以AB⊥PC；

又PC∩CD=C，PC，CD平面PCD，所以AB⊥平面PCD．…

（Ⅱ）因為PC⊥平面ABC，BC平面ABC，所以PC⊥BC，又因為AC⊥BC，PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC．

因為 ，所以DF∥BC，所以DF⊥平面PAC，所以DF⊥FC，DF⊥PF，所以∠PFC就是平面PDF與平面CBD所成二面角的平面角， 即平面PDF與平面CBD所成銳二面角的正切值為 …

【解析】（1）在△ABC中，根據余弦定理求出BC=2，由勾股定理可得出AC⊥BC，在△BCD中，由余弦定理求出CD=，再根據勾股定理可得BD⊥CD，即CD⊥AB，又根據PC⊥平面ABC，得到AB⊥PC，不難證出結果，（2）根據題意不難證明出∠PFC就是平面PDF與平面CBD所成二面角的平面角，通過解三角形可得其正切值.