Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=3BC，O是AD上一點．
（Ⅰ）若CD∥平面PBO，試指出點O的位置；
（Ⅱ）求證：平面PAB⊥平面PCD．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）CD∥平面PBO，推出BO∥CD得到AD=3BC，點O的位置滿足AO=2OD．
（Ⅱ）要證平面AB⊥平面PCD，只需證明平面PCD內的直線PD，垂直平面PABPD內的兩條相交直線AB、PA即可．
解答：（Ⅰ）解：因為CD∥平面PBO，CD?平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO=BO，
所以 BO∥CD又 BC∥AD，
所以四邊形BCDO為平行四邊形，則BC=DO，
而AD=3BC，
故點O的位置滿足AO=2OD．

（Ⅱ）證：因為側面PAD⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，且AB⊥交線AD，
所以AB⊥平面PAD，則AB⊥PD又PA⊥PD，
且PA?平面PAB，AB?平面PAB，AB∩PA=A，
所以PD⊥平面PAB，PD?平面PCD，
所以：平面PAB⊥平面PCD．
點評：本題考查平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的性質，考查邏輯思維能力，是中檔題．