Question

某工廠在1999年的“減員增效”中對(duì)部分人員實(shí)行分流，規(guī)定分流人員第一年可以到原單位領(lǐng)取工資的100%，從第二年起，以后每年只能在原單位按上一年的

2

3

領(lǐng)取工資，該廠根據(jù)分流人員的技術(shù)特長(zhǎng)，計(jì)劃創(chuàng)辦新的經(jīng)濟(jì)實(shí)體，該經(jīng)濟(jì)實(shí)體預(yù)計(jì)第一年屬投資階段，第二年每人可獲得b元收入，從第三年起每人每年的收入可在上一年的基礎(chǔ)上遞增50%，如果某人分流前工資的收入每年a元，分流后進(jìn)入新經(jīng)濟(jì)實(shí)體，第n年的收入為a_n元，
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)b=

8a

27

時(shí)，這個(gè)人哪一年的收入最少？最少為多少？
（3）當(dāng)b≥

3a

8

時(shí)，是否一定可以保證這個(gè)人分流一年后的收入永遠(yuǎn)超過分流前的年收入？

Answer 1

分析：（1）由題意知職工分流后每年的工資組成一個(gè)數(shù)列，由兩個(gè)等比數(shù)列的和組成，代入數(shù)據(jù)求{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）把b的值代入通項(xiàng)公式a_n，再利用基本不等式求最小值．
（3）根據(jù)（1）求出的a_n和b的范圍，放縮一次后，再利用基本不等式進(jìn)行比較，注意等號(hào)成立的條件，再回到實(shí)際問題中．

解答：解：（1）由題意得，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=a，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=a(

2

3

)n-1+b(

3

2

)n-2，
∴a_n=

a                             (n=1) a( 2 3 )n-1+b( 3 2 )n-2   (n≥2)

．
（2） 由已知b=

8a

27

，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=a(

2

3

)n-1+

8a

27

(

3

2

)n-2≥2[a(

2

3

)n-1×

8a

27

(

3

2

)n-2]

1

2

=

8a

9

要使得上式等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)a(

2

3

)n-1=

8a

27

(

3

2

)n-2，
即(

2

3

)2n-2=(

2

3

)4，解得n=3，
因此這個(gè)人第三年收入最少為

8a

9

元．
（3）∵當(dāng)n≥2時(shí)，an=a(

2

3

)n-1+b(

3

2

)n-2≥a(

2

3

)n-1+

3a

8

(

3

2

)n-2≥2

a( 2 3 )n-1× 3a 8 ( 3 2 )n-2

=a，
上述等號(hào)成立時(shí)，須b=

3a

8

且a(

2

3

)n-1=

3a

8

(

3

2

)n-2，即(

4

9

)n-1=

1

4

兩邊取對(duì)數(shù)得，n=1+log

2

3

1

2

＞1+log

2

3

2

3

=2，因此等號(hào)不能取到，
∴當(dāng)b≥

3a

8

時(shí)，這個(gè)人分流一年后的收入永遠(yuǎn)超過分流前的年收入．

點(diǎn)評(píng)：本題為等比數(shù)列應(yīng)用題，通項(xiàng)公式只能用分段函數(shù)表示，不能合二為一；在求最值和比較大小時(shí)，用到了基本不等式，注意等號(hào)成立時(shí)是否取到．