Question

（本小題滿分12分）
設直線
（I）證明與相交；
（II）證明與的交點在橢圓

Answer 1

（I）反證法，見解析；  （II）交點P在橢圓

(I)本小題不易直接證明,因而可考慮采用反證法,先假設l₁與l₂不相交，則l₁與l₂平行可得k₁=k₂，這樣可以推證與已知條件矛盾.從而問題得證.
(II)先根據l₁和l₂的方程聯立解方程組可求出其交點坐標,然后代入橢圓方程證明方程成立即可.
證明：（I）反證法，假設是l₁與l₂不相交，則l₁與l₂平行，有k₁=k₂，代入k₁k₂+2=0，得
此與k₁為實數的事實相矛盾. 從而相交. …………5 分
（II）（方法一）由方程組解得交點P的坐標為
而                 
此即表明交點…………12分
（方法二）交點P的坐標滿足

整理后，得所以交點P在橢圓