Question

（本小題共13分）

已知函數，數列中，，．當取不同的值時，得到不同的數列，如當時，得到無窮數列1，3，，，…；當時，得到常數列2，2，2，…；當時，得到有窮數列，0．

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）設數列滿足，．求證：不論取中的任何數，都可以得到一個有窮數列；

（Ⅲ）若當時，都有，求的取值范圍．

Answer 1

（本小題滿分13分）

解：（Ⅰ）因為 ，且，

所以 ． 同理可得，即．                  ………………………3分

（Ⅱ）證明：假設為數列中的第項，即；則

；

；

………

；

， 即。

故不論取中的任何數，都可以得到一個有窮數列．        ………………………8分

（Ⅲ）因為，且，

所以 ．

又因為當時， ，

即，

所以 當時，有．                            ………………………13分