【題目】已知橢圓
的離心率為
，以橢圓的短軸為直徑的圓與直線
相切.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）設橢圓過右焦點
的弦為
、過原點的弦為
，若
，求證：
為定值.
【答案】(Ⅰ) 
；(Ⅱ)證明見解析.
【解析】
試題分析：
(Ⅰ)由題意結合點到直線距離公式可得
.結合離心率計算公式有
.則橢圓
的方程為.
(Ⅱ)對直線的斜率分類討論：當直線
的斜率不存在時，
.當直線的斜率存在時，設
，
，
，
，聯立直線方程與橢圓方程有
，由弦長公式可得
.聯立直線
與橢圓方程，結合弦長公式有
.計算可得.據此可得：為定值.
試題解析：
（Ⅰ）依題意，原點到直線
的距離為
，
則有.
由
，得
.
∴橢圓的方程為.
（Ⅱ）證明：（1）當直線的斜率不存在時，易求
，
，
則.
（2）當直線的斜率存在時，
設直線的斜率為
，依題意
，
則直線的方程為
，直線
的方程為.
設，，，，
由
得，
則
，
，
.
由
整理得
，則
.
.
∴
.
綜合（1）（2），為定值.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一個袋中裝有形狀大小完全相同的球9個，其中紅球3個，白球6個，每次隨機取1個，直到取出3次紅球即停止．
(1)從袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率P1；
(2)從袋中有放回地取球．
①求恰好取5次停止的概率P2；
②記5次之內(含5次)取到紅球的個數為
，求隨機變量
的分布列及數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數f（x）在定義域[﹣5，5]上滿足f（x）﹣f（﹣x）＝0，且f（3）＝0，當x∈[0，5]時，f（x）的圖象如圖所示，則不等式xf（x）＜0的解集是_____．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】袋中有紅、黃、白色球各1個，每次任取1個，有放回地抽三次，求基本事件的個數，寫出所有基本事件的全集，并計算下列事件的概率：
（1）三次顏色各不相同；
（2）三次顏色不全相同；
（3）三次取出的球無紅色或黃色．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標平面內，以坐標原點
為極點，
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線
的極坐標方程為
，直線
的參數方程為
（
為參數）．
（1）分別求出曲線和直線的直角坐標方程；
（2）若點
在曲線上，且到直線的距離為1，求滿足這樣條件的點的個數．
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