Question

（本小題滿分12分）

設(shè)橢圓C₁：的左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，下頂點(diǎn)為A，線段OA的中點(diǎn)為B（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），如圖．若拋物線C₂：與y軸的交點(diǎn)為B，且經(jīng)過(guò)F₁，F₂點(diǎn)。

（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；

（Ⅱ）設(shè)M（0，），N為拋物線C₂上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作拋物線C₂的切線交橢圓C₁于P、Q兩點(diǎn)，求面積的最大值。

Answer 1

 （Ⅰ）解：由題意可知B（0，-1），則A（0，-2），故b=2．

   令y=0得即，則F₁(-1，0)，F₂（1，0），故c=1．

   所以．于是橢圓C₁的方程為：．

（Ⅱ）設(shè)N（），由于知直線PQ的方程為：

． 即．

代入橢圓方程整理得：,

=,

 , ,

故

          ．

設(shè)點(diǎn)M到直線PQ的距離為d，則．

所以，的面積S

 

當(dāng)時(shí)取到“=”，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)，滿足題意．

綜上可知，的面積的最大值為．