Question

本題設有（1）（2）（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分。如果多做，則按所做的前兩題記分。作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中。
（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=，N=，且MN=。
（Ⅰ）求實數a,b,c,d的值；（Ⅱ）求直線y=3x在矩陣M所對應的線性變換作用下的像的方程。
（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系xOy中，直線L的參數方程為 （t為參數），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為=2sin。
（Ⅰ）求圓C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設圓C與直線L交于點A,B。若點P的坐標為（3，），求∣PA∣+∣PB∣。
（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講
已知函數f(x)= ∣x-a∣.
（Ⅰ）若不等式f(x) 3的解集為，求實數a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f(x)+f(x+5)≥m對一切實數x恒成立，求實數m的取值范圍。

Answer 1

（1）選修4-2：矩陣與變換
本小題主要考查矩陣與變換等基礎知識，考查運算求解能力。滿分7分。
解法一：
（Ⅰ）由題設得：
（Ⅱ）因為矩陣M為對應的線性變換將直線變成直線（或點），所以可取直線y=3x上的兩點（0，0），（1，3），
由
點（0，0），（1，3）在矩陣M所對應的線性變換作用下的像是點（0，0），（-2，2）.
從而，直線y=3x在矩陣M所對應的線性變換作用下的像的方程為y=-x。
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）設直線y=3x上的任意點（x,y）在矩陣M所對應的線性變換作用下的像是點（x’,y’），由
由（x,y）的任意性可知，直線y=3x在矩陣M所對應的線性變換作用下的像的方程為y= -x。
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
本小題主要考查直線的參數方程、圓的極坐標方程、直線與圓的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力。滿分7分。
解法一：

故由上式及t的幾何意義得
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）因為圓C的圓心為（0，），半徑r=,直線l的普通方程為：y=-x+3+.
由解得：或
不妨設A（1，2+） ，B（2，1+），又點P的坐標為（3，），

又已知不等式f(x) 3的解集為，所以解得a=2.
（Ⅱ）當a=2時，f(x)=∣x-2∣.設g(x)=f(x)+f(x+5)，于是

綜上可得，g(x)的最小值為5.
從而，若f(x)+f(x+5)≥m即g(x) ≥m 對一切實數x 恒成立，則m的取值范圍為(-，5].
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）當a=2時，f(x)=∣x-2∣.設g(x)=f(x)+f(x+5).
由∣x-2∣+∣x+3∣≥∣(x-2)-(x+3)∣="5" （當且僅當-3x2時等號成立）得，g(x)的最小值為5.
從而，若f(x)+f(x+5) ≥m 即 g(x) ≥m對一切實數x恒成立，則m的取值范圍為(-，5].

略