Question

（2013•無為縣模擬）已知函數f（x）=cos（-

x

2

）+cos（

4k+1

2

π-

x

2

），k∈Z，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[0，π）上的減區間；
（3）若f（α）=

2 10

5

，α∈（0，

π

2

），求tan（2α+

π

4

）的值．

Answer 1

分析：（1）先利用誘導公式、輔助角公式對已知函數進行化簡，然后結合 周期公式即可求解最小正周期
（2）結合正弦函數的單調遞減區間可求函數的單調遞減區間，然后結合已知x的范圍即可求解
（3）由f（α）=

2 10

5

可求sinα，然后結合α∈(0，

1

2

π)及同角基本關系可求cosα，tanα，然后利用二倍角的正切公式可求tan2α=

2tanα

1-tan2α

，最后利用兩角和的正切公式可求

解答：解：（1）f（x）=cos（-

1

2

π）+cos（

4k+1

2

π-

1

2

x）
=cos

1

2

x+cos（2kπ+

1

2

π-

1

2

x）
=sin

1

2

x+cos

1

2

x=

2

sin（

1

2

x+

π

4

），
所以，f（x）的最小正周期T=

2π

1 2

=4π                
（2）由

1

2

π+2kπ≤

1

2

x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z
得

1

2

π+4kπ≤x≤

5π

2

+4kπ，k∈z
令k=0，得

π

2

≤x≤

5π

2

令k=-1可得，-

7π

12

≤x≤-

3π

2

∵x∈(0，

1

2

π)
∴f（x）在（0，π）上的單調遞減區間是[

1

2

π，π）
（3）由f（α）=

2 10

5

可得sin

α

2

+cos

α

2

=

2 10

5

兩邊同時平方可得，1+sinα=

8

5

∴sinα=

3

5

∵α∈(0，

1

2

π)
∴cosα=

4

5

∴tanα=

sinα

cosα

=

3

4

，tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2× 3 4

1- 9 16

=

24

7

∴tan（2α+

π

4

）=

1+tan2α

1-tan2α

=

1+ 24 7

1- 24 7

=-

31

17

點評：本題主要考查了誘導公式、輔助角公式在三角函數中的化簡，周期公式的應用及正弦函數的單調區間的求解，同角基本關系、利用二倍角的正切公式、用兩角和的正切公式的綜合應用．