Question

【題目】如圖，正四棱錐中底面邊長為，側(cè)棱與底面所成角的正切值為．

（1）求正四棱錐的外接球半徑；

（2）若E是PB中點，求異面直線PD與AE所成角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）求外切球的半徑首先確定圓心的位置，進而得到求得半徑；（2）容易證明EO∥PD且EO=PD可得∠AEO就是異面直線PD與AE所成的角，在Rt△AOE中求

試題解析：（1）連結(jié)AC，BD交于點O，連結(jié)PO，則PO⊥面ABCD，

∴ ∠PAO就是PA與底面ABCD所成的角，∴ tan∠PAO=．

又AB=，則PO=AOtan∠PAO =．

設(shè)F為外接球球心，連FA，

易知FA=FP,設(shè)FO=x，則

（2）連結(jié)EO，由于O為BD中點，E為PD中點，所以 ．

∴ 就是異面直線PD與AE所成的角．

在Rt中，．∴．

由，可知面．所以，

在Rt中，，

即異面直線PD與AE所成角的正切值為．