Question

(本小題滿分14分)
如圖所示，已知圓，為定點，為圓上的動點，線段的垂直平分線交于點，點的軌跡為曲線E.
 
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）過點作直線交曲線于兩點，設線段的中垂線交軸于點，求實數m的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

本試題主要是考查了直線與橢圓的位置關系的運用，以及橢圓方程的求解的綜合運用。
（1）因為由題意知，.
又，
∴動點D的軌跡是以點為焦點的橢圓
（2）根據已知條件設出直線方程，對于斜率要分類討論是否存在，然后結合直線方程與橢圓方程聯立方程組，結合韋達定理和中點公式得到中垂線方程求解。
解：（Ⅰ）由題意知，.
又，
∴動點D的軌跡是以點為焦點的橢圓，且橢圓的長軸長，
焦距. ，
∴曲線的方程為  6分
（Ⅱ）①當的斜率不存在時，線段的中垂線為軸，；  8分
②當的斜率存在時，設的方程為，代入
得：
，由得，  10分
設，則，，
，
∴線段的中點為，中垂線方程為，12分
令得. 由，易得.
綜上可知，實數m的取值范圍是.                14分