Question

若函數滿足：集合中至少存在三個不同的數構成等比數列，則稱函數是等比源函數.
（1）判斷下列函數：①；②中，哪些是等比源函數？（不需證明）
（2）證明：對任意的正奇數，函數不是等比源函數；
（3）證明：任意的，函數都是等比源函數.

Answer 1

（1）①②都是等比源函數；（2）參考解析；（3）參考解析

解析試題分析：（1）函數滿足：集合中至少存在三個不同的數構成等比數列，則稱函數是等比源函數.由等比源函數的定義可知.令x=2,4,16.即可得函數對應的三項為等比數列.令x=1,3,5即可得函數對應的三項成等比數列.所以①②都是等比源函數.
（2）對任意的正奇數，函數不是等比源函數，應用反正法，假設存在三項，根據奇偶性的性質即可得到假設不成立.從而得到證明.
（3）函數，對任意的是等比源函數.至少存在三個不同的數構成等比數列.通過證明存在三項.即命題成立.
試題解析：（1）①②都是等比源函數.4分
（2）證明：假設存在正整數且，使得成等比數列，
，整理得，
等式兩邊同除以得.
因為，所以等式左邊為偶數，等式右邊為奇數，
所以等式不可能成立，
所以假設不成立，說明對任意的正奇數，函數不是等比源函數10分
（3）因為任意的，都有，
所以任意的，數列都是以為首項公差為的等差數列.
由，（其中）可得
，整理得
，
令，則，
所以，
所以任意的，數列中總存在三項成等比數列.
所以任意的，函數都是等比源函數.18分
考點：1.新定義函數的概念.2.列舉遞推的思想.3.反正法思想的應用.