Question

【題目】已知為圓上的動點， 的坐標為， 在線段上，滿足.

（Ⅰ）求的軌跡的方程.

（Ⅱ）過點的直線與交于兩點，且，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 或.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)設點的坐標為，點的坐標為，由題意結合向量關系可得，據此整理計算可得，則，故點的軌跡的方程為.

(Ⅱ)由題意可得，MN為圓的弦長，結合弦長公式可得原點到直線的距離.分類討論直線斜率存在和斜率不存在兩種情況可得直線的方程為或.

試題解析：

(Ⅰ)設點的坐標為，點的坐標為，

依題意得，即，

所以，解得，

又，所以，即

又，所以點的軌跡的方程為.

(Ⅱ)因為直線與曲線交于兩點，且，

所以原點到直線的距離.

若斜率不存在，直線的方程為，此時符合題意；

若斜率存在，設直線的方程為，即，

則原點到直線的距離，解得，

此時直線的方程為

所以直線的方程為或.