Question

設復數β=x+yi（x，y∈R）與復平面上點P（x，y）對應．
（1）若β是關于t的一元二次方程t²-2t+m=0（m∈R）的一個虛根，且|β|=2，求實數m的值；
（2）設復數β滿足條件|β+3|+（-1）ⁿ|β-3|=3a+（-1）ⁿa（其中n∈N^*、常數a∈ (

3

2

 ， 3)），當n為奇數時，動點P（x、y）的軌跡為C₁．當n為偶數時，動點P（x、y）的軌跡為C₂．且兩條曲線都經過點D(2，

2

)，求軌跡C₁與C₂的方程；
（3）在（2）的條件下，軌跡C₂上存在點A，使點A與點B（x₀，0）（x₀＞0）的最小距離不小于

2 3

3

，求實數x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由實系數方程虛根成對，利用韋達定理直接求出m的值．
（2）方法一：分n為奇數和偶數，化出a的范圍，聯立雙曲線方程，求出a值，推出雙曲線方程即可．
方法二：由題意分a的奇偶數，聯立方程組，求出復數β，解出a，根據雙曲線的定義求出雙曲線方程．
（3）設點A的坐標，求出|AB|表達式，根據x范圍，x的對稱軸討論0＜x0≤

3 3

2

，x0＞

3 3

2

時，|AB|的最小值，不小于

2 3

3

，求出實數x₀的取值范圍．

解答：解：（1）β是方程的一個虛根，則

.

β

是方程的另一個虛根，（2分）
則β•

.

β

=m=|β|2=4，所以m=4（2分）
（2）方法1：①當n為奇數時，|α+3|-|α-3|=2a，常數a∈ (

3

2

 ， 3)），
軌跡C₁為雙曲線，其方程為

x2

a2

-

y2

9-a2

=1；（2分）
②當n為偶數時，|α+3|+|α-3|=4a，常數a∈ (

3

2

 ， 3)），
軌跡C₂為橢圓，其方程為

x2

4a2

+

y2

4a2-9

=1；（2分）
依題意得方程組

4 4a2 + 2 4a2-9 =1 4 a2 - 2 9-a2 =1

?

4a4-45a2+99=0 a4-15a2+36=0

解得a²=3，
因為

3

2

＜a＜3，所以a=

3

，
此時軌跡為C₁與C₂的方程分別是：

x2

3

-

y2

6

=1，

x2

12

+

y2

3

=1．（2分）
方法2：依題意得

|β+3|+|β-3|=4a |β+3|-|β-3|=2a

?

|β+3|=3a |β-3|=a

（2分）
軌跡為C₁與C₂都經過點D(2，

2

)，且點D(2，

2

)對應的復數β=2+

2

i，
代入上式得a=

3

，（2分）
即|β+3|-|β-3|=2

3

對應的軌跡C₁是雙曲線，方程為

x2

3

-

y2

6

=1；
|β+3|+|β-3|=4

3

對應的軌跡C₂是橢圓，方程為

x2

12

+

y2

3

=1．（2分）
（3）由（2）知，軌跡C₂：

x2

12

+

y2

3

=1，設點A的坐標為（x，y），
則|AB|2=(x-x0)2+y2=(x-x0)2+3-

1

4

x2
=

3

4

x2-2x0x+

x

2 0

+3=

3

4

(x-

4

3

x0)2+3-

1

3

x

2 0

，
x∈[-2

3

，2

3

]（2分）
當0＜

4

3

x0≤2

3

即0＜x0≤

3 3

2

時，|AB|2min=3-

1

3

x

2 0

≥

4

3

?0＜x0≤

5

當

4

3

x0＞2

3

即x0＞

3 3

2

時，|AB|min=|x0-2

3

|≥

2 3

3

?x0≥

8 3

3

，（2分）
綜上0＜x0≤

5

或x0≥

8 3

3

．（2分），

點評：本題考查復數的基本概念，軌跡方程，直線與圓錐曲線的綜合問題，考查分類討論思想，轉化思想，是中檔題．