Question

短半軸長為3的橢圓的一個焦點到長軸的一個端點的距離等于9，則橢圓的離心率為（　　）

• A、

  12

  13

• B、

  5

  13

• C、

  4

  5

• D、

  3

  5

Answer 1

分析：這道題目考查了橢圓中關于基本參量的定義與運算．由于離心率是橢圓的固有屬性，與研究橢圓時焦點選定在x軸或y軸上無關，那么我們不妨以橢圓的焦點在x軸上為例來討論．設橢圓的長軸的左頂點為A，右定點為B，由于橢圓的兩個焦點具有對稱性，以哪一個為研究對象均可，不妨以橢圓的左焦點為例，并設其為F1．由已知可得焦點到長軸頂點的距離，由于出題人未告知是長軸的左定點還是右定點，我們要分類討論．若為左定點A，則依我們選取的左焦點為研究對象可得|AF1|=|OA|-|OF1|=9，而|OA|即為橢圓的長半軸長a，|OF1|即為橢圓的半焦距長c，則有a-c=9；又已知b=3，結合橢圓中參量的基本關系a²=b²+c²，即可解出各個參量，進而依離心率的定義求解它的值即可．若題目所述的頂點為右定點，則同理可得|BF1|=|OB|+|OF1|=a+c，在依照上述步驟求解即可，并最后進行檢驗．

解答：解：不妨設橢圓的焦點在x軸上，并以橢圓的左焦點為例．設橢圓的長軸的左頂點為A，右定點為B，左焦點為F1．
（1）若題目所述的長軸頂點為左定點A，則依題意有|AF1|=|OA|-|OF1|=9，而|OA|即為橢圓的長半軸長a，|OF1|即為橢圓的半焦距長c，則有a-c=9①；又已知b=3，且有a²=b²+c²②，將b=3代入②，有a²=3²+c²，即（a+c）（a-c）=9，將①代入得a+c=1③，聯解①、③，可得a=5，c=-4，顯然不合題意，故舍去，即情況（1）不成立；
（2）若題目所述的長軸頂點為左定點B，則依題意有|NF1|=|OB|+|OF1|=9，而|OB|即為橢圓的長半軸長a，|OF1|即為橢圓的半焦距長c，則有a+c=9①；又已知b=3，且有a²=b²+c²②，同（1）中解法解得a=5，c=4，顯然合題意．
依離心率的定義有e=

c

a

=

4

5

，故選擇C．

點評：在這道題目中大家一定要注意分類討論并檢驗，如果作為一道解答題，你沒有分情況討論，即使你的答案正確，也必然會因過程失分，同學們一定要培養良好的思維習慣．