Question

（本題滿分16分）第一題滿分4分，第二題滿分6分，第三題滿分6分．
已知動圓過定點P（1，0），且與定直線相切。
（1）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設過點P，且傾斜角為的直線與曲線M相交于A，B兩點，A，B在直線上的射影是。求梯形的面積；
（3）若點C是（2）中線段上的動點，當△ABC為直角三角形時，求點C的坐標。

Answer 1

解: （1）曲線M是以點P為焦點，直線為準線的拋物線，其方程為.
（2）由題意得，直線AB的方程為 消y得
 
于是， A點和B點的坐標分別為A，B（3，），
所以，  
  
（3）設C（－1，y）使△ABC成直角三角形，
，
，
.
(i) 當時，
方法一：當時，，
即為直角. C點的坐標是
方法二：當時，得直線AC的方程為，
求得C點的坐標是。
(ii) 因為，所以，不可能為直角.
(iii) 當時，
方法一：當時，，即，解得，此時為直角。
方法二：當時，由幾何性質得C點是的中點，即C點的坐標是。
故當△ABC為直角三角形時，點C的坐標是或 

略