Question

如圖，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，C₁C⊥底面ABC，AC＝BC＝CC₁＝2，AC⊥BC，點D是AB的中點.

（1）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求三棱錐D－B₁C₁C的體積.

Answer 1

（1）證明過程詳見試題解析；（2）三棱錐D－B₁C₁C的體積為.

解析試題分析：（1）連接BC₁，設BC₁與B₁C的交點為E，連接DE，證得DE∥AC₁；由線面平行的判定定理即可證明AC₁∥平面CDB₁；（2）在平面ABC內作DF⊥BC于點F，可以證明DF是三棱錐D－CC₁B₁的高，再由錐體體積公式即可求解.
試題解析：
（1）證明：連接BC₁，設BC₁與B₁C的交點為E，連接DE.

∵D是AB的中點，E是BC₁的中點
∴DE∥AC₁.
又∵DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁.                     4分
（2）在平面ABC內作DF⊥BC于點F，
∵C₁C⊥平面，平面，
∴.
∴平面.
∴是三棱錐的高，
∵
∴ ，.
∴三棱錐的體積為.                     8分
考點：線面平行的判定定理、空間幾何體的體積.