Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an= （n∈N* ， n≥2），數(shù)列{bn}滿足關(guān)系式bn= （n∈N*）．
（1）求證：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵an= （n∈N*，n≥2），

∴ = =2+ ，即bn=2+bn﹣1（n≥2），

又∵a1=1，

∴b1=1，

∴數(shù)列{bn}是以1為首項、2為公差的等差數(shù)列；

（2）解：由（1）可知bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1，

∴數(shù)列{an}的通項公式an= ．

【解析】（1）通過對an= （n∈N* ， n≥2）兩邊同時取倒數(shù)、整理得 =2+ ，進而可知數(shù)列{bn}是以1為首項、2為公差的等差數(shù)列；（2）通過（1）可知bn=2n﹣1，進而求倒數(shù)可得結(jié)論．
【考點精析】本題主要考查了等差關(guān)系的確定和數(shù)列的通項公式的相關(guān)知識點，需要掌握如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列；如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式才能正確解答此題．