Question

【題目】如圖，已知橢圓： ，其左右焦點為 及，過點的直線交橢圓于， 兩點，線段的中點為， 的中垂線與軸和軸分別交于， 兩點，且、、構成等差數列．

（1）求橢圓的方程；

（2）記的面積為， （為原點）的面積為．試問：是否存在直線，使得？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）．（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由、、構成等差數列，可得，又，可求得，則橢圓的方程可求；

（2）（2）假設存在直線，使得，顯然直線不能與， 軸垂直．．設 方程為 ，聯立橢圓方程，消去，得到 的方程，運用韋達定理和中點坐標公式，結合條件，得到的方程，解出即可判斷．

試題解析：

（1）因為、、構成等差數列，

所以，所以，

又因為，所以，

所以橢圓的方程為．

（2）假設存在直線，使得，顯然直線不能與， 軸垂直．

設方程為，

將其代入，整理得，

設， ，所以，

故點的橫坐標為，所以．

因為，所以，解得，即．　

∵和相似，∴若，則，

∴

整理得，因此此方程無解，

所以不存在直線，使得.