Question

（2011•廣東模擬）如果直線l₁：2x-y+2=0，l₂：8x-y-4=0與x軸正半軸，y軸正半軸圍成的四邊形封閉區域（含邊界）中的點，使函數z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值為8，求a+b的最小值．

Answer 1

分析：寫出可行域，確定目標函數的最優解為B（1，4），代入Z=abx+y（a＞0，b＞0）得最大值8，解得ab=4，再利用基本不等式，即可得到結論．

解答：解：設P（x，y）為封閉區域中的任意點
則P（x，y）滿足約束條件

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0，y≥0

…（3分）
可行域如圖所示…（6分）
目標函數的最優解為B（1，4）…（8分）
依題意將B（1，4）代入Z=abx+y（a＞0，b＞0）得最大值8，解得ab=4…（10分）
有基本不等式得：a+b≥2

ab

=4（當且僅當a=b=2時，等號成立）
故a+b的最小值為4…（12分）

點評：本題考查線性規劃知識的運用，解題的關鍵是確定目標函數的最優解，利用基本不等式求最值．