Question

如圖,在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中,AC＝3,BC＝4,,AA₁＝4,.點D是AB的中點．

(1)求證：AC⊥BC₁；
(2)求二面角的平面角的正切值.

Answer 1

解答：(1)證明：直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，
,∴AC⊥BC，                   2分
又 AC⊥，且
∴ AC⊥平面BCC₁，又平面BCC₁                     4分
∴ AC⊥BC₁                                           5分
 
(2)解法一:過作于,則E為BC的中點，過E做EF^B₁C于F,連接DF,
是中點，∴ ，又平面
∴平面，
又平面，平面
∴ , 
∴平面，平面∴
∴是二面角的平面角          9分
AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，
∴在中，，，
∴
∴二面角的正切值為
解法二：以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系      6分
AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，
∴， ，，，
∴，
平面的法向量，       8分
設平面的法向量，
則，的夾角（或其補角）的大小就是二面角的大小
則由  令，則，
∴                                  10分
，則        11分
∵二面角是銳二面角
∴二面角的正切值為         12分

略