Question

已知f(x)=(x∈R)在區間[－1，1]上是增函數.
（1）求實數a的值組成的集合A；
（2）設關于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x₁、x₂.試問：是否存在實數m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）A={a|－1≤a≤1}. （2）{m|m≥2，或m≤－2}.）

試題分析：（1）f＇(x)== ，
∵f(x)在[－1，1]上是增函數，∴f＇(x)≤0對x∈[－1，1]恒成立，
即x²－ax－2≤0對x∈[－1，1]恒成立.       ①
設(x)=x²－ax－2，
① －1≤a≤1，
∵對x∈[－1，1]，f(x)是連續函數，且只有當a=1時，f＇(-1)=0以及當a=－1時，f＇(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}.                        -6分
（2）由=，得x²－ax－2=0，  ∵△=a²+8>0
∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的兩實根，
∴從而|x₁－x₂|==.
∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3.                10分
要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
當且僅當m²+tm+1≥3對任意t∈[－1，1]恒成立，
即m²+tm－2≥0對任意t∈[－1，1]恒成立.       ②
設g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，
（方法一：）
②m≥2或m≤－2.
所以，存在實數m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.                      --14分
（注：方法二： 當m=0時，②顯然不成立；  當m≠0時，
② 或 m≥2或m≤－2.
所以，存在實數m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.）
點評：難題，在某區間，導函數值非負，則函數為增函數；導函數值非正，則函數為減函數。通過研究函數的圖象和性質，進一步研究方程有實根的情況，這是函數與方程思想的靈活應用。不等式恒成立問題，一般的要轉化成求函數的最值問題。