Question

已知平面上的動點P(x，y)及兩定點A(－2,0)，B(2,0)，直線PA，PB的斜率分別是k₁，k₂，且k₁·k₂＝－.

 (1)求動點P的軌跡C的方程；

(2)已知直線l：y＝kx＋m與曲線C交于M，N兩點，且直線BM、BN的斜率都存在，并滿足k_BM·k_BN＝－，求證：直線l過原點．

 

Answer 1

【答案】

解：(1)由題意得·＝－(x≠±2)，

即x²＋4y²－4＝0.

所以點P的軌跡C的方程為

＋y²＝1(x≠±2)．

(2)設M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，

聯立方程，

得(4k²＋1)x²＋8kmx＋4m²－4＝0.

所以x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.

所以y₁y₂＝(kx₁＋m)(kx₂＋m)＝k²x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m²＝.[來源:Zxxk.Com]

又k_BM·k_BN＝－，即·＝－，

即x₁x₂－2(x₁＋x₂)＋4＋4y₁y₂＝0.

代入并整理得m(m＋2k)＝0，即m＝0或m＝－2k，

當m＝0時，直線l恒過原點；

當m＝－2k時，直線l恒過點(2,0)，但不符合題意．

所以直線l恒過原點．

 

【解析】略