Question

設數列的前n項和為，且（）.
（1）求，，，的值；
（2）猜想的表達式，并加以證明。

Answer 1

（1）,,,; （2）猜想（）,證明見解析.

試題分析：（1）由條件，當時，有，解得，同理當分別取2，3，4可得，，的值；（2）由（1）中前四項的值可猜想,由得，兩式相減并化為，則是等比數列，求出通項公式，可得的通項公式.
解：（1）因為，，            （1分）
所以，當時，有，解得；                （2分）
當時，有，解得；             （3分）
當時，有，解得；         （4分）
當時，有，解得．（5分）
（2）猜想（）                                   （9分）
方法一：
由（），得（），          （10分）
兩式相減，得，即（）．（11分）
兩邊減2，得，                                   （12分）
所以{}是以-1為首項，為公比的等比數列，
故，                                          （13分）
即（）． （14分）
方法二：
①當n=1時，由（1）可知猜想顯然成立；                           （10分）
②假設當n=k時，猜想成立，即，                      （11分）
由（），得，
兩式相減，得，                                 （12分）
所以，
即當n=k+1時，猜想也成立．  （13分）
根據①和②，知對任意，猜想成立．（14分）