Question

【題目】在△ABC中，已知A= ，cosB= ． （Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若BC=2 ，D為AB的中點(diǎn)，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵cosB= 且B∈（0，π）， ∴sinB= = ，
則cosC=cos（π﹣A﹣B）=cos（ ﹣B）=cos cosB+sin sinB=﹣ ﹣ + ﹣ =﹣ ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinC= = = ，
由正弦定理得 = ，即 = ，解得AB=6，
在△BCD中，CD2=BC2+AD2﹣2BCADcosB=（2 ）2+32﹣2×3×2 × =5，
所以CD=
【解析】（I）由cosB的值及B的范圍求出sinB的值，所求式子利用誘導(dǎo)公式及內(nèi)角和定理變形，再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將各自的值代入計(jì)算即可求出cosC的值；（Ⅱ）由cosC的值，求出sinC的值，根據(jù)BC，sinA，以及sinC的值，利用正弦定理求出AB的唱，再利用余弦定理即可求出CD的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)精析】利用兩角和與差的余弦公式和正弦定理的定義對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知兩角和與差的余弦公式：；正弦定理:．