Question

【題目】已知函數f（x）=x3+3x2﹣9x+m
（1）求函數f（x）=x3+3x2﹣9x+m的單調遞增區間；
（2）若函數f（x）在區間[0，2]上的最大值12，求函數f（x）在該區間上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3x2+6x﹣9=3（x+3）（x﹣1），

令f′（x）＞0，得x＞1或x＜﹣3；

令f′（x）＜0，得﹣3＜x＜1．

∴函數f（x）的增區間為：（﹣∞，﹣3），（1，+∞）

（2）解：由（1）知，f′（x）=3x2+6x﹣9=3（x+3）（x﹣1），

令f′（x）=0，得x=1或x=﹣3（舍）．

當x在閉區間[0，2]變化時，f′（x），f（x）變化情況如下表

x	0	（0，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		﹣	0	+
f（x）	m	單調遞減	m﹣5	單調遞增	2+m

∴當x=2時，f（x）取最大值f（x）max=f（2）=m+2，由已知m+2=12，得m=10．

當x=1時，f（x）取最小值f（x）min=f（1）=m﹣5=5

【解析】（1）求出函數的導函數，直接由導函數大于0求解不等式得答案；（2）由（1）可得f（x）在（0，2）上的單調性，求得極值，再求出f（0）、f（2）比較得答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．