Question

（本小題滿分12分）
已知：函數y＝f (x)的定義域為R，且對于任意的a，b∈R，都有f (a＋b)＝f (a)＋f (b)，且當x＞0時，f (x)＜0恒成立．
證明：（1）函數y＝f (x)是R上的減函數．
（2）函數y＝f (x)是奇函數．

Answer 1

 （1）見解析；（2）見解析。

試題分析：（1）設x₁＞x₂，則x₁－x₂＞0，而f (a＋b)＝f (a)＋f (b)，
所以f (x₁)＝f (x₁－x₂＋x₂)＝f (x₁－x₂)＋f (x₂)＜f (x₂)，
即f (x₁)＜f (x₂)，所以函數在R上是減函數．                   ……6分
（2）由f (a＋b)＝f (a)＋f (b)得：f (x－x)＝f (x)＋f (－x)，即f (x)＋f (－x)＝f (0)，而f (0)＝0，
所以f (－x)＝－f (x)，即函數f (x)是奇函數．                    ……12分
點評：本題以抽象函數的單調性證明為載體考查了函數的奇偶性的定義，其中利用“湊配法”得到f（0）=0及f（-x）=-f（x）是解答的關鍵．