Question

（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA＝AB＝4， G為PD的中點，E點在AB上，平面PEC⊥平面PDC．

（1）求證：AG∥平面PEC；  

（2）求點G到平面PEC的距離．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）.

【解析】(I)取PC的中點，H，連接EH，GH，則可以證明四邊形AGHE為平行四邊形，從而證出AG//EH，問題得解.

（II）在(I)的基礎上可以轉化為A到平面PEC的距離，然后利用體積法求解即可.

（1）證明：∵CD⊥AD，CD⊥PA ，∴CD⊥平面PAD   ∴CD⊥AG，

又PD⊥AG，     ∴AG⊥平面PCD．               …………………………2分

在平面PEC內，過點E作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD ，且交線為PC，

∴EF⊥平面PCD．                                   …………………………4分

∴EF∥AG，又AG 面PEC，EF 面PEC，    ∴AG∥平面PEC．   ………6分

（2）由AG∥平面PEC知A、G兩點到平面PEC的距離相等

由（1）知A、E、F、G四點共面，又AE∥CD   ∴ AE∥平面PCD

∴ AE∥GF，∴ 四邊形AEFG為平行四邊形，∴ AE＝GF ，PA＝AB＝4，

 G為PD中點，FGCD，  ∴FG＝2 ∴ AE＝FG＝2．……………9分

∴  ， 又EF⊥PC，EF＝AG．

∴ ．      

又 ，∴，即，

∴，∴ G點到平面PEC的距離為．………………………12分