Question

定義：若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方數(shù)列”。已知數(shù)列 中，，點在函數(shù)的圖像上，其中為正整數(shù)。

⑴證明：數(shù)列是“平方數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列。

⑵設(shè)⑴中“平方數(shù)列”的前項之積為，即，求數(shù)列的通項及關(guān)于的表達(dá)式。

⑶記，求數(shù)列的前項之和，并求使的的最小值。

Answer 1

（Ⅰ）由條件a_n＋1＝2a_n²＋2a_n， 得2a_n＋1＋1＝4a_n²＋4a_n＋1＝(2a_n＋1)²．∴{b_n}是“平方數(shù)列”．

∴l(xiāng)gb_n＋1＝2lgb_n．∵lg(2a₁＋1)＝lg5≠0，∴＝2．∴{lg(2a_n＋1)}為等比數(shù)列．

（Ⅱ）∵lg(2a₁＋1)＝lg5，∴l(xiāng)g(2a_n＋1)＝2^n－1×lg5，∴2a_n＋1＝5，∴a_n＝(5－1)．[來源:Zxxk.Com]

∵lgT_n＝lg(2a₁＋1)＋lg(2a₂＋1)＋…＋lg(2a_n＋1)＝＝(2ⁿ－1)lg5．

∴T_n＝5．

（3）c_n＝＝＝＝2－，

∴S_n＝2n－[1＋＋＋…＋]＝2n－＝2n－2[1－]＝2n－2＋2．

由S_n＞4020得2n－2＋2＞4020，n＋＞2011，

當(dāng)n≤2010時，n＋＜2011，當(dāng)n≥2011時，n＋＞2011，∴n的最小值為2011．