Question

【題目】設數列的前項和為，。

（1）求證：數列為等差數列，并分別寫出和關于的表達式；

（2）是否存在自然數，使得？若存在，求出的值；來若不存在，請說明理由。

（3）設,，若不等式對恒成立，求的最大值。

Answer 1

【答案】（1），（2）（3）7

【解析】

試題分析：（1）由條件已知，則可利用的關系，求出通項公式為等差；則運用公式可求出；

（2）由（1）可得；則為等差數列，由此公式可得出的公式，可化為方程的解，實驗可得；

（3）由，可先化簡，發現可運用裂項求和，證明不等關系，可先分析它的單調性，化為最值問題而求出的最大值。

試題解析：(1)由，得;相減得 故數列是以為首項，以為公差的等差數列。所以,

(2)由（1）知，所以由 得，即存在滿足條件的自然數

（3） 即單調遞增 故要使恒成立，只需成立，即。故符合條件的的最大值為。