Question

【題目】設是各項均不相等的數列， 為它的前項和，滿足.

（1）若，且成等差數列，求的值；

（2）若的各項均不相等，問當且僅當為何值時， 成等差數列？試說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）當且僅當時， 成等差數列

【解析】試題分析：（1）根據解出（用表示），再根據成等差數列，得，代入解出的值；（2）先研究 成等差數列時為何值，同（1）根據解出， （用表示），再根據成等差數列解出的值；再證明時， 成等差數列，實際上求出這個關系式.

試題解析：解：（1）令，得，

又由成等差數列，所以，

解得.

（2）當且僅當時， 成等差數列，

證明如下：

由已知，當時， ，

兩式相減得，即，

由于個各項均不相等，所以，

當時，所以

兩式相減可得，

①當，得，當時，所以，

，所以，

故成等差數列.

②再證當成等差數列時， ，

因為成等差數列，

所以，可得，

所以，

所以當且僅當時， 成等差數列.