Question

定義在R上的函數f（x）滿足f（4）=1，f′（x）為f（x）的導函數，已知y=f′（x）的圖象如圖所示，若兩個正數a、b滿足f（2a+b）＜1，則

b+1

a+1

的取值范圍是

(

1

3

，5)

．

Answer 1

分析：先根據導函數的圖象判斷原函數的單調性，從而確定a、b的范圍，最后利用不等式的性質得到答案．

解答：解：由圖可知，當x＜0時，導函數f'（x）＜0，原函數單調遞減，
∵兩正數a，b滿足f（2a+b）＜1，f（4）=1，
∴a，b滿足

2a+b＜4 a＞0 b＞0

，

∴點（a，b）的區域為圖中陰影部分，不包括邊界，

b+1

a+1

的幾何意義是區域的點與A（-1，-1）連線的斜率，
直線AB，AC的斜率分別是kAB=

1

3

，k_AC=5，
∴

b+1

a+1

∈（

1

3

，5）．
故答案為：（

1

3

，5）．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．