Question

【題目】已知A、B、C、D是函數y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）一個周期內的圖象上的四個點，如圖所示，A（﹣ ， 0），B為y軸的點，C為圖象上的最低點，E為該函數圖象的一個對稱中心，B與D關于點E對稱，在x軸方向上的投影為 ．
（1）求函數f（x）的解析式及單調遞減區間；
（2）將函數f（x）的圖象向左平移得到函數g（x）的圖象，已知g（α）= ， α∈（﹣ ， 0），求g（α+）的值．

Answer 1

【答案】解：（1）∵如圖所示，A（﹣，0），B為y軸上的點，C為圖象上的最低點，E為該函數圖象的一個對稱中心，B與D關于點E對稱，在x軸上的投影為，
∴根據對稱性得出：最大值點的橫坐標為，
∴=+，T=π，
∵T=，
∴ω=2，
∵A（﹣，0）在函數圖象上，
∴sin（﹣+φ）=0，解得：﹣+φ=kπ，k∈z，可得：φ=kπ+，k∈z，
∴φ=，故可得函數f（x）的解析式為：y=sin（2x+）．
∴由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z即可解得單調遞減區間為：[kπ+，kπ+]，k∈Z．
（2）∵由題意可得：g（x）=f（x+）=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x．
∴g（α）=cos2α=，
∵α∈（﹣，0），
∴2α∈（﹣，0），可得sin2α=﹣，
∴g（α+）=cos（2α+）=cos2αcos﹣sin2αsin=x﹣（﹣）×=．
【解析】（1）根據函數想性質得出最大值點的橫坐標為 ， A（﹣ ， 0），得出周期T=π，T= ， 即可ω，運用A（﹣ ， 0），sin（﹣+φ）=0，得出φ=kπ+ ， k∈z，即可求解函數解析式，由2kπ+≤2x+≤2kπ+ ， k∈Z即可解得單調遞減區間．
（2）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求g（x），結合角的范圍可求cos2α，sin2α，利用兩角和的余弦函數公式即可求值。
【考點精析】本題主要考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關知識點，需要掌握圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象才能正確解答此題．