Question

設函數f(x)=ax+

x

x-1

(x＞1)，若a是從1，2，3三個數中任取一個數，b是從2，3，4，5四個數中任取一個數，
（1）求f（x）的最小值；
（2）求f（x）＞b恒成立的概率．

Answer 1

分析：（1）把f（x） 的解析式化簡變形后利用基本不等式求出其最小值，注意檢驗等號成立的條件．
（2）f（x）＞b恒成立就轉化為(

a

+1)2＞b成立，用列舉法求出基本事件總數為12個，找出使
“f（x）＞b恒成立”，的時間的個數為10個，由此求得f（x）＞b恒成立的概率．

解答：解：（1）x＞1，a＞0，f(x)=ax+

x-1+1

x-1

=ax+

1

x-1

+1…（2分）
=a(x-1)+

1

x-1

+1+a ≥2

a

+1+a=(

a

+1)2，當且僅當 a（x-1）=

1

x-1

 時，等號成立．…（4分）
故f（x）的最小值為 (

a

+1)2．…（6分）
（2）f（x）＞b恒成立就轉化為(

a

+1)2＞b成立．
則所有的基本事件總數為12個，即
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；…（8分）
設事件 A：“f（x）＞b恒成立”，
事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），共10個．…（10分）
由古典概型得 P(A)=

10

12

=

5

6

．…（12分）

點評：本題主要考查基本不等式的應用，注意檢驗等號成立的條件，式子的變形是解題的關鍵；用列舉法計算基本事件的總數，要注意不重不漏．