Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的減函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足 +x＜1，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.對(duì)于任意x∈R，f（x）＜0
B.對(duì)于任意x∈R，f（x）＞0
C.當(dāng)且僅當(dāng)x∈（﹣∞，1），f（x）＜0
D.當(dāng)且僅當(dāng)x∈（1，+∞），f（x）＞0

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵ +x＜1，f（x）是定義在R上的減函數(shù)，f′（x）＜0， ∴f（x）+f′（x）x＞f′（x），
∴f（x）+f′（x）（x﹣1）＞0，
∴[（x﹣1）f（x）]′＞0，
∴函數(shù)y=（x﹣1）f（x）在R上單調(diào)遞增，
而x=1時(shí)，y=0，則x＜1時(shí)，y＜0，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，x﹣1＞0，故f（x）＞0，
又f（x）是定義在R上的減函數(shù)，
∴x≤1時(shí)，f（x）＞0也成立，
∴f（x）＞0對(duì)任意x∈R成立，
故選：B．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．