【題目】已知定義在區間
上的函數
，
.
（Ⅰ）證明：當
時，
；
（Ⅱ）若曲線
過點
的切線有兩條，求實數
的取值范圍.
【答案】(1)見證明；(2) 
【解析】
（1）利用導數求得函數單調性，可證得
；（2）利用假設切點的方式寫出切線方程，原問題轉化為方程
在
上有兩個解；此時可采用零點存在定理依次判斷零點個數，得到
范圍，也可以先利用分離變量的方式，構造新的函數，然后討論函數圖像，得到范圍.
（1）證明：
時，
在
上遞減，在
上遞增
（2）當
時，
，
，明顯不滿足要求；
當
時，設切點為
（顯然
），則有
，整理得
由題意，要求方程
在區間上有兩個不同的實數解
令
①當
即
時，
在
上單調遞增，在
上單調遞減
或先單調遞減再遞增
而
，
，
，
在區間上有唯一零點，在區間上無零點，
所以此時不滿足題要求.
②當
時，
在上單調遞增
不滿足在區間上有兩個不同的實數解
③當
即
時，在
上單調遞增，在
上單調遞減，在上單調遞增.
，
在區間上有唯一零點，所以此時不滿足題要求.
④當
時，在上單調遞減，在上單調遞增，
，
，
當
即
時，在區間上有唯一零點，此時不滿足題要求.
當
即
時，在區間和上各有一個零點
設零點為
，又這時
顯然在區間上單調遞減
，此時滿足題目要求.
綜上所述，的取值范圍是
（2）解法二：設切點為
由解法一的關于
的方程
在區間內有兩解
顯然
不是方程的解
故原問題等價于
在區間內有兩解
設
，
且
則
，且
令
，，則
又
，
；
，
，
故
，
；
，
從而
，遞增，，遞減
令
， 
由于
時
，時
故，
；，
，
而時，
，
時，
故在區間內有兩解
解得：
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
.
（1）試求函數
的極值點的個數；
（2）若
，
恒成立，求
的最大值.
參考數據：
| 1.6 | 1.7 | 1.74 | 1.8 | 10 |
| 4.953 | 5.474 | 5.697 | 6.050 | 22026 |
| 0.470 | 0.531 | 0.554 | 0.558 | 2.303 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市春節期間7家超市的廣告費支出
（萬元）和銷售額
（萬元）數據如下：
超市 | A | B | C | D | E | F | G |
廣告費支出 | 1 | 2 | 4 | 6 | 11 | 13 | 19 |
銷售額 | 19 | 32 | 40 | 44 | 52 | 53 | 54 |
參數數據及公式：
，
，
，
，
，
，
.
（1）若用線性回歸模型擬合y與x的關系，求y關于x的線性回歸方程；
（2）用對數回歸模型擬合y與x的關系，可得回歸方程：
，經計算得出線性回歸模型和對數模型的
分別約為0.75和0.97，請用說明選擇哪個回歸模型更合適，并用此模型預測A超市廣告費支出為8萬元時的銷售額.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在極坐標系中，曲線
的方程為
，以極點為原點，極軸所在直線為
軸建立直角坐標，直線
的參數方程為
（
為參數），與交于
，
兩點．
（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；
（2）設點
；若
、
、
成等比數列，求
的值
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線
上有一動點
，過點作直線
垂直于
軸，動點
在上，且滿足
（
為坐標原點），記點的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程；
（2）已知定點
，
，
為曲線上一點，直線
交曲線于另一點
，且點在線段
上，直線
交曲線于另一點
，求
的內切圓半徑
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了了解一個小水庫中養殖的魚的有關情況，從這個水庫中多個不同位置捕撈出100條魚，稱得每條魚的質量（單位：kg），并將所得數據分組，畫出頻率分布直方圖（如圖所示）．
（1）在下面表格中填寫相應的頻率；
分組 | 頻率 |
| |
| |
| |
| |
| |
|
（2）估計數據落在
中的概率；
（3）將上面捕撈的100條魚分別作一記分組頻率號后再放回水庫．幾天后再從水庫的多處不同位置捕撈出120條魚，其中帶有記號的魚有6條．請根據這一情況來估計該水庫中魚的總條數．
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