Question

（2013•惠州二模）已知圓C₁：x²+y²=2和圓C₂，直線l與C₁切于點(diǎn)M（1，1），圓C₂的圓心在射線2x-y=0（x≥0）上，且C₂經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，如C₂被l截得弦長為4

3

．
（1）求直線l的方程；
（2）求圓C₂的方程．

Answer 1

分析：（1）欲求切線的方程，關(guān)鍵是求出切線的斜率，由直線OM的斜率可得切線l的斜率，最后利用點(diǎn)斜式寫出直線l的方程．
（2）先根據(jù)圓C₂的圓心在射線2x-y=0（x≥0）上，故設(shè)圓C₂的圓心（a，2a），（a＞0）．C₂經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，可設(shè)圓C₂的方程設(shè)為：（x-a）²+（y-2a）²=5a²，利用數(shù)形結(jié)合求得C₂被l截得弦長建立關(guān)于a的方程，從而求得a值即得．

解答：解：（1）直線OM的斜率為：

1-0

1-0

=1，
∴切線l的斜率k=-1，
直線l的方程：y-1=-（x-1）
即x+y-2=0．即為直線l的方程．
（2）∵圓C₂的圓心在射線2x-y=0（x≥0）上
∴設(shè)圓C₂的圓心（a，2a），（a＞0）．
且C₂經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴圓C₂的方程設(shè)為：（x-a）²+（y-2a）²=5a²，
圓心（a，2a）到直線l的距離為：d=

|a+2a-2|

2

=

|3a-2|

2

∴C₂被l截得弦長為：2×

R2-d 2

=4

3

，
即

5a2 - (3a-2) 2 2

=2

3

⇒a=2或a=-14（負(fù)值舍去）
∴圓C₂的方程：（x-2）²+（y-4）²=20．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系、直線和圓的方程的應(yīng)用、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．